证明: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ 极限存在. 这里 $n\in\mathbb{Z}$.

记此极限为 $e$. 即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e
\]

一般的, 对于实数 $x$, 也有

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e
\]

$f(x)=(1+\frac{1}{x})^x$ 这个函数, 如果视之为实函数, 则其定义域为 $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$. 对于 $[-1,0]$ 中几乎所有的 $x$, $f(x)$ 都是(非实数的)复数. 不过可以证明下面两个结果.

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}(1+\frac{1}{x})^x=1.
\]

\[
\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(1+\frac{1}{x})^x=+\infty.
\]